在正项数列中，.对任意的，函数满足.求数列的通项公式；求数列的前项和.

题文

在正项数列

中，

.对任意的

，函数







满足

.
（1）求数列

的通项公式；
（2）求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

本题主要考查导数的运算、等比数列的证明、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的化归与转化能力和运算能力.第一问，先利用

得到一个递推公式，根据等比数列的证明方法知数列

为等比数列，则利用等比数列的通项公式求基本量

和

，从而求出通过公式；2.先求出

的表达式，根据式子的规律，符合错位相减法，利用错位相减法和等比数列的前n项和求出

.
试题解析：（1）求导得

，由

可得

，又

，故数列

为等比数列，且公比

.         3分
由

得

，所以通项公式为

.    6分
（2）

①


②
①-②得，








                12分

考点

据考高分专家说，试题“在正项数列中，.对任意的，函数满足.（1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。