已知数列中，求数列的通项；令求数列的前n项和Tn．

题文

已知数列

中，


（1）求数列

的通项；
（2）令

求数列

的前n项和Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an=

，（2）Tn=

解析

（1）本题为由

求

，当

时，

，约去

整理得到关于

的关系式

所以





累加得

（2）因为

所以数列

的前n项和为数列

与数列

前n项和的和. 数列

前n项和为

，而数列

前n项和需用错位相减法求解.运用错位相减法求和时需注意三点：一是相减时注意项的符号，二是求和时注意项的个数，三是最后结果需除以


试题解析：（1）

﹣

，
移向整理得出


当n≥2时，an=（an﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1
=

=1+

=

，n=1时也适合
所以an=

，
（2）bn=nan=

，
Tn=

﹣（

）
令Tn′=

，两边同乘以

得


Tn′=


两式相减得出

Tn′=

=

=


Tn′=


所以Tn=

﹣（

）
=





求

，错位相减法求和

考点

据考高分专家说，试题“已知数列中，（1）求数列的通项；（2）令.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。