题文
对任意实数列
，定义
它的第
项为
,假设
是首项是
公比为
的等比数列.
（1）求数列
的前
项和
；
（2）若
，
，
.
①求实数列
的通项
；
②证明：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）①
；②详见解析.
解析
本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n项和以及不等式的放缩法．（1）由
是首项是
公比为
的等比数列，故实数列
确定，即
，再结合
的定义，得
，然后求和即可（需分类讨论）；（2）由
，
.，可确定
，利用累加法可求
；和式
可看作数列
的前n项和，故先求其通项公式，得
，因前n项和不易直接求出，故可考虑放缩法，首先看不等式右边，可想到证明每项都小于
，由
，进而可证明右面不等式，再考虑不等式左边，
，因为
，故
，进而求和可证明．
试题解析：（1）令
这里
是公比为
的等比数列.
，
当
时，
，
，. 2分
当
时，
是公比为
，首项为
的等比数列；.
. 4分
综上
. 6分
（2）①由题设
，
，
叠加可得
（
）. 8分
②
. 10分
又
，
，
即
，
，
. 12分
即
. 13分
考点
据考高分专家说，试题“对任意实数列，定义它的第项为,假设是首项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
