已知数列{an}的各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32，求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足，求设数列{bn}

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数的等比数列，且a₁a₂=2，a₃a₄=32，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足

（n∈N^*），求设数列{b_n}的前n项和T­_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

解析

（1）由已知条件和等比数列的通项公式列出关于q和a₁的方程组，解出q和a₁即可.
（2）把

代入

中得

，即

，整理求出

，然后根据错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T­_n.
试题解析：（1）设等比数列

的公比为

，由已知得

     2分
又∵

，

，解得

          3分
∴

；       5分
（2）由题意可得 

，


 ，  （

）
两式相减得 

，
∴

，（

）        7分
当

时，

，符合上式，
∴

，（

）          8分
设

，


，     两式相减得 

，
∴

．       1


中，

，顶点

 

上的

，

．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数的等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。