题文
已知数列
的首项
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）记
，若
，求最大正整数
的值；
（3）是否存在互不相等的正整数
，使
成等差数列，且
成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明过程见解析;（2）最大正整数
的值为100;（3）满足题意的正整数
不存在.
解析
（1）由已知条件构造出
，据等比数列的定义知数列
为等比数列；（2）由等比数列
的通项公式求出
的通项公式.易得出
，再解出
即可;（3）假设存在，可得
，
由通项公式代入化简可得
，因为
，当且仅当
时等号成立，又
互不相等，则不存在.
试题解析：解：（1）因为
，所以
又因为
，所以
，所以数列
为等比数列. 4分
（2）由（1）可得
，所以
，
，
若
，则
，所求最大正整数
的值为100. 9分
（3）假设存在满足题意的正整数
，
则
，
，
因为
，所以
，
化简得，
，因为
，
当且仅当
时等号成立，又
互不相等，
所以满足题意的正整数
不存在. 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的首项．（1）求证：数列为等比数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
