题文
设数列
，
，
，已知
，
，
，
，
，
（
）．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求证：对任意
，
为定值；
（3）设
为数列
的前
项和，若对任意
，都有
，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）证明见解析；（3）
．
解析
（1）根据已知条件与待求式，作差
，可得
，而
，故数列
是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和
，表面上看不出什么，但由
，可得
，由由
，可以想象
，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得
，那么其前
项和
可用分组求和法求得，
，这样我们就可求出
，
，相当于
，由于
，从而
，一直是我们只要求得
的最大值
和
的最小值
，则就是
，由此可求得
的范围．
试题解析：（1）因为
，
，所以
（
）， （１分）
所以
，
，
， （2分）
即数列
是首项为
，公比为
的等比数列， （3分）
所以
． （4分）
（2）解法一：
， （1分）
因为
，所以
，
，
猜测：
（
）． （2分）
用数学归纳法证明：
①当
时，
，结论成立； （3分）
②假设当
（
）时结论成立，即
，那么当
时，
，即
时结论也成立． （5分）
由①，②得，当
时，
恒成立，即
恒为定值．（6分）
解法二：
， （1分）
所以
，（4分）
而
，所以由上述递推关系可得，当
时，
恒成立，即
恒为定值．（6分）
（3）由（1）、（2）知
，所以
，（1分）
所以
，
所以
， （2分）
由
得
，
因为
，所以
， （3分）
当
为奇数时，
随
的增大而递增，且
，
当
为偶数时，
随
的增大而递减，且
，
所以，
的最大值为
，
的最小值为
． （4分）
由
，得
，解得
． （6分）
所以，所求实数
的取值范围是
．
考点
据考高分专家说，试题“设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
