已知数列中，(1)求，；求证：是等比数列，并求的通项公式；数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

题文

已知数列

中，


(1)求

，

；
（2）求证：

是等比数列，并求

的通项公式

；
（3）数列

满足

，数列

的前n项和为

，若不等式

对一切

恒成立，求

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）



;（2）

;（3）

.

解析

（1）直接将

代入

即可求出结果；
（2）对递推公式

化简可得

，即可证明结果；
（3）求出

，利用错位相减可求出

再根据恒成立条件即可求出结果.
试题解析：解：(1)

    2分
(2)由

得


即

    4分
又


所以

是以

为首项,3为公比的等比数列.    6分
所以




即

    8分
(3)

    9分








两式相减得




    11分



若

为偶数,则


若

为奇数,则




    14分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列中，(1)求，；（2）求证：是等.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。