(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明S

题文

(2013·天津高考)已知首项为

的等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N^*),且-2S₂,S₃,4S₄成等差数列.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)证明S_n+

≤

(n∈N^*). 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n= (-1)^n-1·

.     （2）见解析

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q,由-2S₂,S₃,4S₄成等差数列,所以S₃+2S₂=4S₄-S₃,S₄-S₃=S₂-S₄,可得2a₄=-a₃,于是q=

=-

.又a₁=

,所以等比数列{a_n}的通项公式为a_n=

×

=(-1)^n-1·

.
(2)S_n=1-

,S_n+

=1-

+

=


当n为奇数时,S_n+

随n的增大而减小,所以S_n+

≤S₁+

=

.
当n为偶数时,S_n+

随n的增大而减小,所以S_n+

≤S₂+

=

.
故对于n∈N^*,有S_n+

≤

.

考点

据考高分专家说，试题“(2013·天津高考)已知首项为的等比数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。