已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．求a2，a3的值设cn=a2n+1﹣a2n﹣

题文

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=

，n∈N^*，且a₁=2．
（1）求a₂，a₃的值
（2）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列
（3）设S_n为{a_n}的前n项和，证明

+

+…+

+

≤n﹣

（n∈N^*） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₂=﹣

 a₃=8（2）（3）见解析

解析

（1）推出b_n的表达式，分别当n=1时，求出a₂=﹣

；当n=2时，解出a₃=8；
（2）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，利用等比数列的定义，证明{c_n}是等比数列；
（3）求出S_2n，a_2n，S_2n﹣1，a_2n﹣1，求出

+

的表达式，然后求出

+

+…+

+

的表达式，利用放缩法证明结果．
（1）解：由b_n=

，（n∈N^*）可得b_n=


又b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，
当n=1时，a₁+2a₂=﹣1，可得由a₁=2，a₂=﹣

；
当n=2时，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（2）证明：对任意n∈N^*，a_2n﹣1+2a_2n=﹣2^2n﹣1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②﹣①，得a_2n+1﹣a_2n﹣1=3×2^2n﹣1，即：c_n=3×2^2n﹣1，于是


所以{c_n}是等比数列．
（3）证明：
a1=2，由（2）知，当k∈N^*且k≥2时，
a_2k﹣1=a₁+（a₃﹣a₁）+（a₅﹣a₃）+（a₇﹣a₅）+…+（a_2k﹣1﹣a_2k﹣3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k﹣3）=2+3×

=2^2k﹣1，
故对任意的k∈N^*，a_2k﹣1=2^2k﹣1．
由①得2^2k﹣1+2a_2k=﹣2^2k﹣1+1，所以

k∈N^*，
因此，


于是，

．
故

=


=


所以，对任意的n∈N^*，

+

+…+

+

=（

+

）+…+（

+

）
=


=


=n﹣


≤n﹣

﹣

=n﹣

（n∈N^*）
点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}与{bn}满足bn+1a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。