设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．求{an}的通项公式；设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列

题文

（13分）（2011•重庆）设{a_n}是公比为正数的等比数列a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ（Ⅱ）2n﹣1        2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2

解析

（Ⅰ）由{a_n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a₁=2，a₃=a₂+4可求得q，即可求得{a_n}的通项公式
（Ⅱ）由{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．
解：（Ⅰ）∵设{a_n}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a₃=a₂+4，a₁=2
∴2×q²="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q="2"
∴{a_n}的通项公式为a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ
（Ⅱ）∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列
∴b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=

+

=2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2
点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．

考点

据考高分专家说，试题“（13分）（2011•重庆）设{an}是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。