已知等比数列{an}的前n项和Sn满足：S4-S1=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}为递增数列，，，

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₄-S₁=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列{a_n}为递增数列，

，

，问是否存在最小正整数n使得

成立?若存在，试确定n的值，不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

或

；（2）

的最小值为

.

解析

（1）由已知可得


,解之得

，
从而可得

或

.
（2）根据数列

单调递增，得

，从而

，
利用“裂项相消法”求得

=

.
假设存在，根据

，解得

（不合题意舍去），
依据

为正整数，所以

的最小值为

.
（1）设等比数列

的首项为

，公比为q，
依题意，有

，
由

可得

得

   3分


 解之得

         5分
所以

或

                            6分
（2）因为数列

单调递增，

  


，        7分
所以




.        9分
假设存在，则有

，整理得：


解得

（不合题意舍去）          11分
又因为

为正整数，所以

的最小值为

.             12分

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和Sn满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。