已知数列， 满足条件：， ．求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前项和，并求使得对任意N*都成立的正整数的最小值．

题文

已知数列

，

满足条件：



，

．
（1）求证数列

是等比数列，并求数列

的通项公式；
（2）求数列

的前

项和

，并求使得

对任意

N^*都成立的正整数

的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）正整数

的最小值是5

解析

（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明

即可
（2）由

，利用裂项相消法，可得

，
然后证明数列

是一个递增数列，当

时，

取得最小值

，要使得

对任意

N^*都成立，结合（1）的结果，只需

，解之即可
（1）∵


∴

，∵

，


∴数列

是首项为2，公比为2的等比数列 ．
∴

∴


（2）∵

，
∴




．
∵

，又

，
∴

N^*，即数列

是递增数列．
∴当

时，

取得最小值

．
要使得

对任意

N^*都成立，结合（1）的结果，只需

，由此得

．∴正整数

的最小值是5．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列， 满足条件：， ．（1）求证数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。