已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n，n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*.(1)求an,bn; (2)求数列{an·b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且S_n=2n²+n，n∈N^*,数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*.
(1)求a_n,b_n; (2)求数列{a_n·b_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)a_n=4n-1，b_n=2^n-1(n∈N^*)；（2）T_n=5+(4n-5)×2ⁿ.

解析

(1)本小题中已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n的表达式已知，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，而当n=1时，a₁=S₁且检查是否符合前式，在a_n求出之后利用a_n=4log₂b_n+3求得b_n；（2）可知a_n·b_n的表达式是等差乘以等比形式，求这类数列的前n项和T_n，只需用错位相减法可完成求和，即若等比数列的公比为q，则由T_n -qT_n进行错位相减，整理出T_n即可.
试题解析：(1)由S_n=2n²+n,可得：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(2n²+n)-[2(n-1)²+(n-1)]="4n-1," 当n=1时，a₁=3符合上式，所以a_n=4n-1(n∈N^*).由a_n=4log₂b_n+3，可得4n-1=4log₂b_n+3, 解得b_n=2^n-1(n∈N^*).
(2)a_nb_n=(4n-1)·2^n-1, ∴T_n=3+7×2¹+11×2²+15×2³+…+(4n-1)×2^n-1，                  ①
2T_n=3×2¹+7×2²+11×2³+15×2⁴+…+(4n-1)×2ⁿ，             ②
①-②可得：
-T_n=3+4[2¹+2²+2³+2⁴+…+2^n-1]-(4n-1)×2ⁿ=3+4×

-(4n-1)×2ⁿ=-5+(5-4n)×2ⁿ,
∴T_n=5+(4n-5)×2ⁿ.

与

的关系：

，错位相减法求和.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。