题文
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数
，都有
成立，记
。
（1）求数列
与数列
的通项公式；
（2）记
，设数列
的前
项和为
，求证：对任意正整数
都有
； 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）祥见解析．
解析
（1）由已知及
与
的关系：
，令n=1可求得
的值，再将已知等式中的n换成n+1得
，然后与已知式子：
相减得到：
，从而可得到：
，这说明数列
是公比为
的等比数列，所以就可写出数列
的通项公式，再代入
就可得到数列
的通项公式；（2）由（1）的结果，结合
就可得到数列
的通项公式，如果其前n项和可求，则先求出其前n项和
再与
比较大小；若直接求和比较难办，则注意思考先用放缩法将数列
的通项公式放大成一个可求和的数列，则
小于此数列的前n项和，而此此数列的前n项和恰好是小于或等于
的，因此在放大的时候一定要注意适当放大且能求和是关键．
试题解析：（1）当
时，
1分
又
3分
∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列， 4分
∴
，
6分
（2）由
得 7分
10分
又
当
时，
，
， 11分
当
时，
∴对任意正整数
都有
。 14分
考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
