设正数数列为等比数列，，记.求和；证明: 对任意的，有成立.

题文

设正数数列

为等比数列，

，记

.
（1）求

和

；
（2）证明: 对任意的



，有

成立. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

，

；（2）详见解析.

解析

（1）对照条件易得等比数列的通项公式

，进而得

；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第

步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第

步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第

步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第

步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.
试题解析： （1）依题意可知

，又

，所以

，从而

，进而有

．                                                        4分
（2）证明：①当

时，左边

，右边

，因为

，所以不等式成立．      5分
②假设当

时，不等式成立，即

成立．           7分
那么当

时，则左边











右边             12分
所以当

时，不等式也成立.
由①、②可得对任意的



，都有

恒成立．          14分
（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用

）

考点

据考高分专家说，试题“设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。