已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．求数列{an}的通项公式；求证数列{an}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足

，这样的等比数列有多少个？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，
∴a _n+1+S _n+1=2，
两式相减得

，
∴{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列，
∴


（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r）
则

，
∴22 ^r﹣q=2 ^r﹣p+1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立原命题得证．
（3）设抽取的等比数列首项为

，公比为

，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则


又∵


∴


整理得：

①
∵n≥1
∴2m﹣n≤2m﹣1．
∴


∴m≤4
∵


∴


∴m≥4
∴m=4将m=4代入①式，整理得


∴n≤4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。