已知数列{an}满足递推关系式an=2an﹣1+1，其中a4=15求a1，a2，a3求数列{an}的通项公式求数列{an}的前

题文

答案

解：（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15 ，
可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=（a₁+1）·2^n﹣1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ﹣1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
= 


=2ⁿ⁺¹-n-2．

解析

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考点

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。