当n为正整数时，定义函数N表示n的最大奇因数．如N=3，N=5，…．记S=N+N+N+…+N．则S（4

题文

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=______．（2）S（n）=4n+23． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．
S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=4³+S（3）
=4³+4²+S（2）
=4³+4²+4¹+S（1）=86．
（2）S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），
又S₁=N（1）=1，
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=4n+23．

解析

4n+23

考点

据考高分专家说，试题“当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。