已知某个等比数列前n项的和为Sn，若Sn=2，S3n-Sn=12，则S6n-S3n=______．

题文

已知某个等比数列前n项的和为S_n，若S_n=2，S_3n-S_n=12，则S_6n-S_3n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得q≠1
∵S_n=2，S_3n-S_n=12
∴a1(1-qn)1-q=2a1(1-q3n)-a1(1-qn)1-q=12
两式相除可得，1-qnqn(1-q2n)=16
∴q²ⁿ+qⁿ-6=0
∴qⁿ=2，a11-q=-2或qⁿ=-3，a11-q=12
当qⁿ=2，a11-q=-2时，S_6n-S_3n=a11-q•（1-q⁶ⁿ）-a11-q（1-q³ⁿ）=112
当qⁿ=-3，a11-q=12，，S_6n-S_3n=a11-q•（1-q⁶ⁿ）-a11-q（1-q³ⁿ）=-378
故答案为：112或-378

解析

a1(1-qn)1-q=2a1(1-q3n)-a1(1-qn)1-q=12

考点

据考高分专家说，试题“已知某个等比数列前n项的和为Sn，若Sn.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。