一弹性小球自h0=5m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的79，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间．

题文

一弹性小球自h₀=5 m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的79，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设小球第一次落地时速度为v₀，则有v₀=2gh0=10（m/s），
那么第二，第三，，第n+1次落地速度分别为v₁=79v₀，v₂=（79）²v₀，，v_n=（79）ⁿv₀，
小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h₀=5m，
小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L₁=2×v12 2g=10×（79)2．
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L₂，则L₂=2×v222g=10×（79）⁴．
由数学归纳法可知，小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为L_n=10×（79）²ⁿ．
故从第一次到第n+1次所经过的路程为
S_n+1=h₀+L₁+L₂++L_n，则整个过程总路程为
S=limn→∞S_n+1=5+limn→∞10×(79)2[1-(79)2n]1-(79)2=5+10(79)21-(79)2=20.3（m），
小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t₀=2h0g0=1（s）．
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t₁=2×v1g=2×79，
同理可得t_n=2×（79）ⁿ，t_n+1=t₀+t₁+t₂++t_n，
则t=limn→∞t_n+1=1+limn→∞2×(79)[1-(79)n]1-(79)=8（s）．

解析

2gh0

考点

据考高分专家说，试题“一弹性小球自h0=5m高处自由下落，当它.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。