各项均为正数的等比数列{{an}的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．

题文

各项均为正数的等比数列{{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=2，S₄=5S₂，则a₁的值为______，S₄的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

若等比数列的公比等于1，由a₃=2，则S₄=4a₃=4×2=8，5S₂=5×2S₃=5×2×2=20，与题意不符．
设等比数列的公比为q（q≠1），
由a₃=2，S₄=5S₂，得：a1q2=2a1(1-q4)1-q=5(a1+a1q)，
整理得a1q2=2q2=4，解得a1=12，q=±2．因为数列{a_n}的各项均为正数，所以q=2．
则S4=12(1-24)1-2=152．
故答案为12；152．

解析

a1q2=2a1(1-q4)1-q=5(a1+a1q)

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的等比数列{{an}的前n项.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。