已知集合A={x|x2+a≤x，a∈R}．求A；若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，对于任意的n∈N+，均有Sn∈A

题文

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1时，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1时，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．
而S₂=a+a²＞a，S₂∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；
（ii）当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，Sn=a(1-an)1-a，Sn-a=a(1-an)1-a-a=a2-an+11-a≥0，∴S_n≥a，
又aⁿ＞0，∴Sn＜a1-a
对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足0＜a＜1a1-a≤1，解得0＜a≤12．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤12．

解析

a(1-an)1-a

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。