已知数列{an}满足：a1=1，a2=2且数列{an•an+1}是公比为2的等比数列，则数列{an}的前11项的和S11=______．

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2且数列{a_n•a_n+1}是公比为2的等比数列，则数列{a_n}的前11项的和S₁₁=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵数列{a_n•a_n+1}是公比为2的等比数列，a₁=1，a₂=2
∴a_n•a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即anan+1an-1 an=an+1an-1=2n 2n-1=2，
∴此数列的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，
∴a₃=2，a₄=2²，a₅=2²，a₆=2³，a₇=2³，a₈=2⁴，a₉=2⁴，a₁₀=2⁵，a₁₁=2⁵，
∴S₁₁=1+2+2+2²+2²+2³+2³+2⁴+2⁴+2⁵+2⁵=125，
故答案为：125．

解析

anan+1an-1 an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，a2=2.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。