设{an}为等比数列，Sn为其前n项和，已知an+1=2Sn+1．求{an}的通项公式；求数列{nan}的前n项和Hn．

题文

设{a_n}为等比数列，S_n为其前n项和，已知a_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和H_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，（n≥2）
∴a_n+1=3a_n，（n≥2），
∴q=3．
对于a_n+1=2S_n+1令n=1，可得a₂=2a₁+1=3a₁，
解得a₁=1，
∴an=3n-1．
（Ⅱ）nan=n•3n-1，
Hn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1 ①
3Hn=3+2•32+3•33+…+n•3n ②
①-②得-2Hn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=1-3n1-3-n•3n，
∴Hn=2n-14×3n+14．

解析

1-3n1-3

考点

据考高分专家说，试题“设{an}为等比数列，Sn为其前n项和，.....”主要考查你对 [等比数列的前n项和 ]考点的理解。 等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：

；

等比数列中设元技巧：

已知a₁，q，n，a_n ，S_n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…

，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。

等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，

（a≠0，b≠0，a+b=0）；

等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S₁，中间n项之和为S₂，最后n项之和为S₃，当q≠-1时，S₁，S₂，S₃为等比数列。