已知数列{an}满足an+1-2an=0，且a3+2是a2，a4的等差中项。求数列{an}的通项公式an；若bn=13+2，Sn=b1+

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项。
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=13+2

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的最大值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ。
（2）由（1）及b_n=13+2

，得b_n=13-2n，
令13-2n≥0，则n≤6.5，
∴当1≤n≤6时，b_n＞0，
当n≥7时，b_n＜0，
∴当n=6时，S_n有最大值，S₆=36。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。