对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M则称数列{un}为B-数列。首

题文

对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M则称数列{u_n}为B-数列。
（1）首项为1，公比为

的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
（2）设S_n是数列{x_n}的前n项和，给出下列两组判断：
A组：①数列{x_n}是B-数列；②数列{x_n}不是B-数列
B组：③数列{S_n}是B-数列；④数列{S_n}不是B-数列
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{a_n}是B-数列，证明：数列{a_n²}也是B-数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设满足题设的等比数列为


则


于是


|

-

|+|

-

|+…+|

-

|
=


=3×

＜3
所以首项为1，公比为

的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列{

}是B-数列，则数列{S_n}是B-数列
此命题为假命题
事实上设

=1，n∈N，
易知数列{

}是B-数列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n
由n的任意性知，数列{S_n}不是B-数列。
命题2：若数列{S_n}是B-数列，则数列{

}是B-数列。
此命题为真命题。
事实上，因为数列{S_n}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
即


于是





所以数列

是

数列。
（3）数列

是

数列，则存在正数M，对任意的

有



因为


 


设

，则有





因此


故数列

是

数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{un}若存在常数M＞0，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。