公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，．求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；记，若自然数η1，η2，…，ηk，…

题文

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知

，

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（2）记

，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且

成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（3）记

，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵

，

，
∴d=2
所以

，



（2）由题意，b_n=2n，首项b₁=2，
又数列

的公比


∴

，
又

，
∴η_k=3 ^k﹣1
（3）易知

，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则
c_s²=c_r

c_t，
即

，
整理得


①当2s﹣r﹣t≠0时，

，
∵r，s，t∈N*，
∴

是有理数，
这与

为无理数矛盾
②当2s﹣r﹣t=0时，则rt+r+t﹣s²﹣2s=0，从而


，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项c_r，c_s，c_t

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“公差d≠0的等差数列{an}.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。