已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．求数列{an}及{bn}的通项公式；是

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足

，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列

是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵8S_n=a_n²+4a_n+3，①
∴8a₁=a₁²+4a₁+3．
解之，得a₁=1，或a₁=3．
又8S_n﹣1=a_n﹣1²+4a_n﹣1+3（n≥2），②
由①﹣②，得 8a_n=（a_n²﹣a_n﹣1²）+4（a_n﹣a_n﹣1），
即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1﹣4）=0．
∵各项均为正数则a_n+a_n﹣1＞0，
∴a_n﹣a_n﹣1=4（n≥2）．
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25．a₁，a₂，a₇成等比数列，
∴a_n=4n﹣3，b_n=5n﹣1
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，有 不构成等比数列，舍去．
（2）满足条件的a存在，a=


由（1）知，a_n=4n﹣3，b_n=5^n﹣1
从而a_n﹣log_ab_n=4n﹣3﹣log_a5^n﹣1=（4﹣log_a5）n﹣3+log_a5
由题意得4﹣log_a5=0
∴a=

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。