已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a．求{an}的通项公式；设，若数列{bn}的前

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n﹣a_n+1）（a为常数，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设

，若数列{b_n}的前n项和S_n中，S₅为最大值，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）s₁=a（s₁﹣a₁+1），
∴a₁=a． 当 n≥2时，由 S_n=a（S_n﹣a_n+1）可得，S_n﹣1=a（S _n﹣1﹣a _n﹣1+1）．
两式相减得：a_n=a a _n﹣1，
由于a为常数，a＞0且a≠1，
∴

=a，
即数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=a a _n﹣1=a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=|a|+1﹣n，
∴b _n+1=|a|﹣n，b _n+1﹣b_n=﹣1，即数列{b_n}为以 a为首项，公差为﹣1的等差数列．
由题意数列{b_n}为递减数列且S₅为最大值，
∴

，

，
又a＞0，解得4≤a≤5．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。