已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足Sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．求数列{an}的通项公式；设bn=12-

题文

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=12-logpan（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．（2分）
∵（ p-1）S_n=p²-a_n，
∴（ p-1）S_n+1=p²-a_n+1，
两式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
∴(p-1)an+1=an-an+1，即an+1=1pan，（4分）
∴数列{a_n}是首项为p，公比为1p的等比数列．
∴an=p(1p)n-1=(1p)n-2．（6分）
（Ⅱ）∵bn=12-logpp2-n=12-(2-n)=1n（8分），
∴bnbb+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)（10分），
∴T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅++b_nb_n+2
=12[(11-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)++(1n-1n+2)]
=12(1+12-1n+1-1n+2)＜34（12分）．

解析

1p

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均是正数，其前n项.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。