已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其公比q是方程2x2+3x+1=0的根．求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；当q≠-1时，设1bn=l

题文

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其公比q是方程2x²+3x+1=0的根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（Ⅱ）当q≠-1时，设1bn=log12|an+2|，若b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为q是方程2x²+3x+1=0的根，可得q=-12或q=-1．
当q=-12时，an=(-12)n-1，Sn=1-(-12)n1+12=23[1-(-12)n]．
当q=-1时，a_n=（-1）^n-1，Sn=1   当n为奇数时0   当n为偶数时．
（Ⅱ）当q≠-1时，an=(-12)n-1，
由1bn=log12|an+2|=log12|(-12)n+1|=n+1，得bn=1n+1．
∴bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)=12-1n+2=n2(n+2)．
因为b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ对一切n∈N^*恒成立，
所以λ≤[n2(n+2)]min，n∈N^*．
法一：易知12-1n+2在n∈N^*上单调递减，所以，当n=1时，12-1n+2取最小值16，所以λ≤16．
所以λ的取值范围是(-∞，16]．
法二：令f(x)=x2(x+2)，则f′(x)=1(x+2)2＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f(1)=16，即n2(n+2)最小值为16，所以λ≤16．
所以λ的取值范围是(-∞，16]．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=1的等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。