已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S11=33．求{an}的通项公式；设bn=(14)an，求证：{bn}是等比数列，并求数列{an

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=1，S₁₁=33．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=(14)an，求证：{b_n}是等比数列，并求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，且a₂=a₁+d=1，S₁₁=11a₁+55d=33，解得a₁=12，d=12，a_n=n2．
 （2）bn=(14)an=（12^{） n}，bn+1bn=12，数列b_n}是以12为公比的等比数列．
a_n•b_n=n2．（12）n=n•（12）ⁿ⁺¹  
T_n=1×(12)2+2×(12)3+…+n•（12）ⁿ⁺¹   ①
12 T_n=+1×(12)3+2(12)4+…+（n-1）•（12）ⁿ⁺¹+…+n•（12）^{n+2 _②}
②-①得12 T_n=(12)2+(12)3+(12)4…+（12）ⁿ⁺¹-n•（12）ⁿ⁺²
=14[1-(12)n]1-12-n•（12）ⁿ⁺²
∴T_n=1-（12）ⁿ-n•（12）ⁿ⁺¹=1-2-n2n+1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。