设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30-S20+S10=0．求{an}的通项；求{nSn}的前n项和T

题文

设正项等比数列{a_n}的首项a1=12，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0得2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，
即2¹⁰（a₂₁+a₂₂+…+a₃₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀，
可得2¹⁰•q¹⁰（a₁₁+a₁₂+…+a₂₀）=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀．
因为a_n＞0，所以2¹⁰q¹⁰=1，解得q=12，因而an=a1qn-1=12n，n=1，2，.
（Ⅱ）由题意知Sn=12(1-12n)1-12=1-12n，nSn=n-n2n.
则数列{nS_n}的前n项和Tn=(1+2++n)-(12+222++n2n)，Tn2=12(1+2++n)-(122+223++n-12n+n2n+1).
前两式相减，得Tn2=12(1+2++n)-(12+122++12n)+n2n+1=n(n+1)4-12(1-12n)1-12+n2n+1即Tn=n(n+1)2+12n-1+n2n-2.

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设正项等比数列{an}的首项a1=12，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。