在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30．求：a1和公比q；若{an}各项均为正数，求数列{n•an}的前n项和．

题文

在等比数列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=27，a₂+a₄=30．
求：（1）a₁和公比q；
（2）若{a_n}各项均为正数，求数列{n•a_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由等比数列的性质可得，a₁•a₂•a₃=a23=27，
∴a₂=3
∵a₂+a₄=30
∴a₄=27
∴q2=a4a2=9
∴q=±3
∴a1=1q=3或a1=-1q=-3
（2）由a_n＞0可得a1=1q=3，an=3n-1，nan=n•3n-1
∴Sn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1
∴3S_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ
两式相减可得，-2S_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=1-3n1-3-n•3n=3n-12-n•3n
∴Sn=(2n-1)•3n+14

解析

a4a2

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，a1•a2•a3=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。