已知等比数列{an}中，a1+a3=10，前4项和为40．求数列{an}的通项公式；若等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又

题文

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，前4项和为40．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a1+a1q2=10a1+a1q+a1q2+a1q3=40
∴a1=1q=3.
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．
∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1．
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，则T₃=b₁+b₂+b₃=3b₂=15，
∴b₂=5．
又∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
∴（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
即（3+5）²=（1+b₁）（9+b₃），
64=（6-d）（14+d）．
∴d=-10或d=2．
∴b1=15d=-10（舍去）或b1=3d=2.
∴Tn=nb1+n(n-1)2d=3n+n(n-1)2×2=n2+2n．

解析

a1+a1q2=10a1+a1q+a1q2+a1q3=40

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a1+a3=10.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。