已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60，且A6为a1和a21的等比中项．求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；若数列{bn}满足b

题文

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前6项和为60，且A₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列{1bn-n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则6a1+15d=60(a1+5d)2=a1(a1+20d)⇒a1=5d=2⇒an=2n+3，（5分）Sn=n(5+2n+3)2=n(n+4)，（7分）
（2）∵b_n+1-b_n=2n+3，
∴b₂-b₁=5
b3-b 2=7
…
b_n-b_n-1=2n+1
叠加得b_n-b₁=5+7+…+2n+1
∴b_n=3+5+…+2n+1=3+2n+12•n=n（n+2）（10分）
∴1bn-n=1n(n+1)=1n-1n+1，
∴Tn=1-12+12-13+…+1n-1n++1
∴Tn=1-1n+1=nn+1（13分）

解析

6a1+15d=60(a1+5d)2=a1(a1+20d)

考点

据考高分专家说，试题“已知各项都不相等的等差数列{an}的前6.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。