等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1+a6=33；②a2a5=32；③三个数2a2，a32，3a4+4依次成等差数列，求数列{an}的通项公式及前n项和

题文

等比数列{a_n}同时满足下列三个条件：①a₁+a₆=33；②a₂a₅=32；③三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次成等差数列，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由等比数列性质，a₁•a₆ =a₂a₅=32，又a₁+a₆=33．∴a₁，a₆是方程x²-33x+32=0的两根，解得①a1=1a6=32，此时q=2，通项公式为a_n=2^n-1，三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次为：4，16，28，成等差数列，符合题意．
或②a1=32a6=1，此时q=12，通项公式为a_n=32×(12)n-1=2^6-n，三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次32，64，16，不成等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
∴S_n=1-2n1-2=2ⁿ-1．

解析

a1=1a6=32

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}同时满足下列三个条件：①.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。