已知点是函数f=ax的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f-c，数列{bn}的首项为c，且前n项和

题文

已知点（1，12）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=Sn+Sn-1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{1bnbn+1}前n项和为T_n，问满足T_n＞9992010的最小正整数n是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（1）=a=12
∴f（x）=（12）^x，
∴a₁=f（1）-c=12-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-14，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-18
又数列{a_n}成等比数列，
a1=a22a3=-12，
∵a₁=12-c
∴-12=12-c，∴c=1
又公比q=a2a1=12
所以a_n=-12（12）^n-1=-（12）ⁿ，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1（n≥2）
又b_n＞0，Sn＞0，∴Sn-Sn-1=1；
∴数列{Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴Sn=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（Ⅱ）T_n=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=11×2+13×5+15×7+…+1(2n-1)×(2n+1)
=12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+…+12(12n-1-12n+1)=12（1-12n+1）=n2n+1
由Tn=n2n+1＞9992010，得n＞3334
满足Tn＞9992010的最小正整数为84．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知点（1，12）是函数f（x）=ax（.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。