已知等比数列{an}共有m项，且各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7．求数列{an}的通项an；若数列{bn}是等差数列，且b1=

题文

已知等比数列{a_n}共有m项 （ m≥3 ），且各项均为正数，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b_m=a_m，判断数列{a_n}前m项的和S_m与数列{bn-12}的前m项和T_m的大小并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则1+q+q²=7，
∴q=2或q=-3
∵{a_n}的各项均为正数，∴q=2                             
所以a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1得S m=2m-1
数列{b_n}是等差数列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，
而T_m=（b₁-12）+（b₂-12）+（b₃-12）+…+（b_m-12）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-m2
=1+2m-12m-m2=2m-12m=m•2^m-2
∵T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1
∴当m=3时，T₃-S₃=-1，∴T₃＜S₃．
∴当m≥4时，T_m＞S_m

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}共有m项（m≥3），.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。