已知函数f=lnx-x+1），数列{an}满足a1=e，an+1an=e(n∈N*)．求数列{an}的通项公式an；求f（a

题文

已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足a1=e，an+1an=e(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：1•2•3•…•n≤en(n-1)2(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an+1an=e，∴{a_n}是等比数列，又a₁=e，∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=eⁿ．
（2）由（1）知，f（a_n）=lneⁿ-eⁿ+1=（n+1）-eⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e²+…+eⁿ）
=n2+3n2-e-en+11-e．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得f′(x)=1x-1，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即ln(1•2•3•…•n)≤n(n-1)2，
故1•2•3…•n≤en(n-1)2．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。