已知等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0，则q的取值范围是______．

题文

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n=1，2，3，…），则q的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当n=1时，a₁=S₁＞0，首项必为正数．
（1）当q=1时，Sn=na₁＞0，
（2）当q≠1时，Sn=a₁•1-qn1-q
①若q＞1，则1-q＜0，1-qⁿ＜0，S_n＞0成立．
②若0＜q＜1，则1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
③若-1＜q＜0，则 1-q＞0，1-qⁿ＞0，S_n＞0成立．
④若q≤-1，则当n为偶数时，1-qⁿ≤0，S_n＞0不成立．
综上所述，q的取值范围是q＞-1且q≠0，
故答案为：q＞-1且q≠0

解析

1-qn1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比为q，前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。