已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点都在函数f=2x+2-4的图象上．求数列{an}的通项公式；设bn=an•log

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=2^x+2-4的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意，S_n=2ⁿ⁺²-4，n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
当n=1时，a₁=S₁=2³-4=4，也适合上式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*；
（II）∵b_n=a_nlog₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹①
2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²②
②-①得，T_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-23-23(1-2n-1)1-2+(n+1)•2n+2
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1
=（n+1）•2ⁿ⁺²-1ⁿ⁺²=n•2ⁿ⁺²．

解析

23(1-2n-1)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。