已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．求数列{bn}的通项公式．若an≥

题文

已知数列{a_n}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=3an+1，求证：c1•c2•c3…cn＞712． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，∴bn=an-2an+1=4(an+1-2)an+1+1=4bn+1，
∴bn+1bn=14
∵a1=3，b1=14
∴数列{b_n}是以14为首项，14为公比的等比数列
∴bn=14n；
（Ⅱ）∵bn=an-2an+1，∴an=2•4n+14n-1
∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，
∴t≤4n+92n=2n+92n对任意n∈N^*恒成立
∵y=m+9m(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴(2n+92n)min=min{2+92，4+94}=254
∴t≤254
∴实数t的取值范围是(-∞，254]；
（Ⅲ）∵cn=3an+1=1-14n，
猜想(1-14)(1-142)  …  (1-14n)≥1-(14+142+ …+14n)
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边=34=右边；n=2时，左边=4564，右边=1116，左边＞右边；
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-14)(1-142)  …  (1-14k)≥1-(14+142+ …+14k)
则n=k+1时，左边=(1-14)(1-142)  …  (1-14k)(1-14k+1)≥[1-(14+142+ …+14k)](1-14k+1)
＞1-(14+142+ …+14k+1)=右边
由①②知，猜想(1-14)(1-142)  …  (1-14n)≥1-(14+142+ …+14n)成立
又14+142+ …+14n＜141-14=13
∴c1•c2•c3…cn=(1-14)(1-142)  …  (1-14n)≥1-(14+142+ …+14n)＞1-13＞712
∴c1•c2•c3…cn＞712

解析

2-2an+1an+1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=3，2-2an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。