设各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17．求数列{an}的通项公式；是否存在最小正整数m，使得当n＞m时，an＜2011

题文

设各项为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整数m，使得当n＞m时，an＜201115恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
则a1(1-q4)1-q=1，a1(1-q8)1-q=17，相除得：
1-q81-q4=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
将q=2代入得a₁=115，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-115；
（Ⅱ）由a_n=2n-115＜201115，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整数，使得n≥m时，a_n＞201115恒成立．

解析

a1(1-q4)1-q

考点

据考高分专家说，试题“设各项为正数的等比数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。