已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的的等比数列，若函数f=x2，且a1=f，a5=f，

题文

已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有c1b1+c22b2+…+cnnbn=an+1成立，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），
∴（d-1）²+4d=（2d-1）²，
∴d=2，a₁=1．
∴a_n=2n-1；
∵数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，f（x）=x²，且b₁=f（q-2），b₃=f（q），
则b₂=q
∴q²=q²（q-2）²，
解得q=3，或q=1，又b₁=1．
∴b_n=3^n-1；或b_n=1
（2）∵对一切n∈N^*，都有c1b1+c22b2+…+cnnbn=an+1成立，
∴当n=1时，c1b1=a2，
∵a₁=3，b₁=1，
∴c₁=3，S₁=3；
当n≥2时，∵c1b1+c22b2+…+cnnbn=an+1，
∴c1b1+c22b2+…+cn-1(n-1)bn-1=a_n，
∴cnnbn=an+1-an=2，
∴c_n=2n•3^n-1，
故c_n=3，n=12n•3n-1，n≥2，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=3+2•2•3+2•3•3²+2•n•3^n-1
=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+n•3^n-1）+1
设x=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，①
则3•x=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，②
②-①得2x=n•3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…+3⁰）=n•3n-3n-12，
∵sn=2x+1，
∴Sn=(n-12)•3n+32，
又S₁=3满足上式，
综上，Sn=(n-12)•3n+32，n∈N*．

解析

c1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。