已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．求数{an}的通项公式；设数{bn}的前

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{b_n}的前n项和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，试比较Tn+1+124Tn与2log2bn+1+22log2bn-1的大小，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列（2分）
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b₁=4，bn+1bn=4
即数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列
所以T_n=43（4ⁿ-1）（6分）
则Tn+1+124Tn=4n+1+84(4n-1)=1+34n-1
又2log2bn+1 +22log2bn-1=4n+64n-1=1+74n-1
Tn+1+124Tn-2log2bn+1+22log2bn-1=34n-1-74n-1=4(3n+1-7•4n-1)(4n-1)(4n-1)
猜想：7•4^n-1＞3n+1（8分）
①当n=1时，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式7•4^k-1＞3k+1成立（9分）
当n=k+1时，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N⁺均有7•4^n-1＞3n+1（11分）
又4ⁿ-1＞0，4n-1＞0
∴Tn+1+124Tn-2log2bn+1 +22log2bn-1＜0
所以对任意的n∈N⁺均有Tn+1+124Tn＜2log2bn+1+22log2bn-1（12分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}满足an+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。