已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162．求数列{an}的通项公式；设Sn是数列{an}的前n项和，证明Sn•Sn+2S2n+1≤1．

题文

已知数列{a_n}为等比数列，a₂=6，a₅=162．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，证明Sn•Sn+2S2n+1≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a₂=a₁q，a₅=a₁q⁴．
依题意，得方程组a1q=6a1q4=162
解此方程组，得a₁=2，q=3．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2•3^n-1．
（2）Sn=2(1-3n)1-3=3n-1．
Sn•Sn+2S2n+1=32n+2-(3n+3n+2)+132n+2-2•3n+1+1≤32n+2-23n•3n+2+132n+2-2•3n+1+1=1，
即Sn•Sn+2S2n+1≤1．

解析

a1q=6a1q4=162

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等比数列，a2=6，a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。