已知数列{an}的前n项和为Sn，an=1，若数列{Sn+1}是公比为2的等比数列．bn=n•2n+n•λan，n∈N*，求数列{an}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=1，若数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n
（Ⅱ）若数列{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a₁=1，且数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．∴S₁+1=2∴，
∴S_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，又∵a₁=1，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，∴b_n=[2n+（-1）ⁿλ]2^n-1
∴b_n+1=[2（n+1）+（-1）ⁿ⁺¹λ]2ⁿ=2^n-1[4n+4-2（-1）ⁿλ]
∴b_n+1-b_n═2^n-1[2n+4-3（-1）ⁿλ]＞0
∴2n+4＞3（-1）ⁿλ，
当n为奇数时，2n+4＞-3λ，∴6＞-3λ，∴λ＞-2；
当n为偶数时，2n+4＞3λ，∴8＞3λ，∴λ＜83
综上所述，83＞λ＞-2

解析

83

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，an=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。