设{an}为等比数例，Tn=na1+a2…+2an-1+an，已知T1=1，T2=4，求数列{an}的首项和公比；求数列{Tn}的通项公式

题文

设{a_n}为等比数例，T_n=na₁+（n-1）a₂…+2a_n-1+a_n，已知T₁=1，T₂=4，
（1）求数列{a_n}的首项和公比；
（2）求数列{T_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}以比为q，则T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，
∴a₁=1，q=2．
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n．
由（1）知a_n=2^n-1．
∴S_n=1+2+…+2^n-1
=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n
=（2+1）+（2ⁿ-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2ⁿ+…+2ⁿ）-n
=2-2•2n1-2-n
=2ⁿ⁺¹-2-n

解析

2-2•2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}为等比数例，Tn=na1+（n.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。