已知数列{an}的前n项和Sn=32(an-1)，n∈N*．求{an}的通项公式；若对于任意的n∈N*，有k•an≥4n+1成立，求实数k的取值范围

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=32(an-1)，n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=32(an-1)，n∈N^*，
∴a1=32(a1-1)，
解得a₁=3．
∵Sn=32(an-1)，n∈N^*，
∴Sn+1=32(an+1-1)．
两式相减，得a_n+1=Sn+1-Sn=32(an+1-an)，
∴a_n+1=3a_n，
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
从而{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）知，对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，
等价于k≥4n+13 n对任意的n∈N^*成立，
等价于k≥(4n+13n)  max，
而4(n+1)+13n+14n+13n=4n+53(4n+1)=1-8n-212n+3＜1，n∈N₊，
∴{4n+13 n}是单调减数列，
∴(4n+13 n)max=4×1+13=53，
∴实数k的取值范围是[53，+∞)．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=32(a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。